k-tuple colorings of the Cartesian product of graphs

A k-tuple coloring of a graph G assigns a set of k colors to each vertex of G such that if two vertices are adjacent, the corresponding sets of colors are disjoint. The k-tuple chromatic number of G, χk(G), is the smallest t so that there is a k-tuple coloring of G using t colors. It is well known that χ(G□H)=max{χ(G),χ(H)}. In this paper, we show that there exist graphs G and H such that χk(G□H)>max{χk(G),χk(H)} for k≥2. Moreover, we also show that there exist graph families such that, for any k≥1, the k-tuple chromatic number of their Cartesian product is equal to the maximum k-tuple chromatic number of its factors.Fil: Bonomo, Flavia. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Oficina de Coordinación Administrativa Ciudad Universitaria. Instituto de Investigación en Ciencias de la Computación. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Instituto de Investigación en Ciencias de la Computación; Argentina. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Departamento de Computación; ArgentinaFil: Koch, Ivo Valerio. Universidad Nacional de General Sarmiento. Instituto de Industria; ArgentinaFil: Torres, Pablo. Universidad Nacional de Rosario. Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura; Argentina. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Centro Científico Tecnológico Conicet - Rosario; ArgentinaFil: Valencia Pabon, Mario. Universite de Paris 13-Nord; Francia. Centre National de la Recherche Scientifique; Franci

An integer programming approach for the 2-class single-group classification problem

Two sets XB, XR ⊆ Rd are linearly separable if their convex hulls are disjoint, implying that a hyperplane separating XB from XR exists. Such a hyperplane provides a method for classifying new points, according to the side of the hyperplane in which the new points lie. In this work we consider a particular case of the 2-class classification problem, which asks to select the maximum number of points from XB and XR in such a way that the selected points are linearly separable. We present an integer programming formulation for this problem, explore valid inequalities for the associated polytope, and develop a cutting plane approach coupled with a lazy-constraints scheme.Fil: Corrêa, Ricardo C.. Universidade Federal Rural Do Rio de Janeiro; BrasilFil: Blaum, Manuela. Universidad Nacional de General Sarmiento; ArgentinaFil: Marenco, Javier Leonardo. Universidad Nacional de General Sarmiento; ArgentinaFil: Koch, Ivo Valerio. Universidad Nacional de General Sarmiento; ArgentinaFil: Mydlarz, Marcelo. Universidad Nacional de General Sarmiento; Argentina. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas; ArgentinaLatin-American Algorithms, Graphs and Optimization Symposium (LAGOS 2019)Belo HorizonteBrasilCoordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nivel SuperiorConselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Técnologico do BrasilUniversidade Federal de Minas Gerai

Un enfoque algorítmico sobre algunas variantes del problema de coloreo de grafos y el problema de conjunto independiente máximo

En esta Tesis estudiamos variantes del problema de coloreo de grafos para varias familias de grafos, y analizamos el problema del conjunto independiente máximo bajo un enfoque de generación de planos de corte. En el problema del k; i-coloreo, asignamos conjuntos de colores de cardinalidad k a los vértices de un grafo G, de manera que los conjuntos que correspondan a vértices adyacentes en G intersequen en no más de i elementos y la cantidad total de colores usados sea mínima. Esta cantidad mínima recibe el nombre de número k; i-cromático y es denotada por Xik(G). Este parámetro, que generaliza el número cromático X01(G), es tan difícil de trabajar que su valor es desconocido aún para grafos completos. Desarrollamos un algoritmo de orden lineal para el cómputo de Xik para ciclos y generalizamos este resultado a grafos cactus. Adicionalmente, estudiamos la relación entre este problema en grafos completos y un problema abierto clásico de teoría de códigos. Un b-coloreo de un grafo es un coloreo tal que cada clase color admite un vértice adyacente a por lo menos un vértice perteneciente a cada una de las demás clases color. El número b-cromático de un grafo G, denotado como Xb(G), es el máximo número t tal que G admite un b-coloreo con t colores. Describimos un algoritmo polinomial para computar el número b-cromático de la clase de los grafos P4-tidy y estudiamos para esta clase dos propiedades conocidas: la b-continuidad y la b-monotonía. Estudiamos además la versión sobre aristas del b-coloreo y su índice b-cromático asociado. Presentamos cotas para el índice b-cromático del producto directo de grafos y damos resultados generales para varios productos directos de grafos regulares. Introducimos también un modelo sencillo de programación lineal para el b-coloreo de aristas, que utilizamos para calcular resultados exactos para el producto directo de algunas clases de grafos. Finalmente, proponemos un nuevo método de generación de planos de corte para el problema del conjunto independiente máximo. El algoritmo genera desigualdades de rango y otras desigualdades válidas, y utiliza un procedimiento de lifting basado en la resolución del conjunto independiente máximo con pesos sobre un grafo de menor tamaño

An algorithmic approach for some variants of the graph coloring problem and the maximum stable set problem

En esta Tesis estudiamos variantes del problema de coloreo de grafos para varias familias de grafos, y analizamos el problema del conjunto independiente máximo bajo un enfoque de generación de planos de corte. En el problema del k; i-coloreo, asignamos conjuntos de colores de cardinalidad k a los vértices de un grafo G, de manera que los conjuntos que correspondan a vértices adyacentes en G intersequen en no más de i elementos y la cantidad total de colores usados sea mínima. Esta cantidad mínima recibe el nombre de número k; i-cromático y es denotada por Xik(G). Este parámetro, que generaliza el número cromático X01(G), es tan difícil de trabajar que su valor es desconocido aún para grafos completos. Desarrollamos un algoritmo de orden lineal para el cómputo de Xik para ciclos y generalizamos este resultado a grafos cactus. Adicionalmente, estudiamos la relación entre este problema en grafos completos y un problema abierto clásico de teoría de códigos. Un b-coloreo de un grafo es un coloreo tal que cada clase color admite un vértice adyacente a por lo menos un vértice perteneciente a cada una de las demás clases color. El número b-cromático de un grafo G, denotado como Xb(G), es el máximo número t tal que G admite un b-coloreo con t colores. Describimos un algoritmo polinomial para computar el número b-cromático de la clase de los grafos P4-tidy y estudiamos para esta clase dos propiedades conocidas: la b-continuidad y la b-monotonía. Estudiamos además la versión sobre aristas del b-coloreo y su índice b-cromático asociado. Presentamos cotas para el índice b-cromático del producto directo de grafos y damos resultados generales para varios productos directos de grafos regulares. Introducimos también un modelo sencillo de programación lineal para el b-coloreo de aristas, que utilizamos para calcular resultados exactos para el producto directo de algunas clases de grafos. Finalmente, proponemos un nuevo método de generación de planos de corte para el problema del conjunto independiente máximo. El algoritmo genera desigualdades de rango y otras desigualdades válidas, y utiliza un procedimiento de lifting basado en la resolución del conjunto independiente máximo con pesos sobre un grafo de menor tamaño.In this Thesis we study variants of the graph coloring problem for several families of graphs, and we address the stable set problem under a new cutting plane generation approach. In the k; i-coloring problem, we assign sets of colors of size k to the vertices of a graph G, so that the sets which belong to adjacent vertices of G intersect in no more than i elements and the total number of colors used is minimum. This minimum number of colors is called k; i-chromatic number and is denoted by Xik(G). This parameter, which generalizes the chromatic number X01 (G), is so difficult to deal with, that its value is unknown even for complete graphs. We develop a linear time algorithm to compute Xik for cycles and generalize the result to cacti. Further, we study the relation between this problem on complete graphs and a classic open problem in coding theory. A b-coloring of a graph is a coloring such that every color class admits a vertex adjacent to at least one vertex receiving each of the colors not assigned to it. The b-chromatic number of a graph G, denoted by Xb(G), is the maximum number t such that G admits a b-coloring with t colors. We describe a polynomial time algorithm to compute the b-chromatic number for the class of P4-tidy graphs and study this class for two known properties: the b-continuity and the b-monotonicity. We study also the edge version of the b-coloring problem and its associated b-chromatic index for the direct product of graphs and provide general results for many direct products of regular graphs. We introduce a simple linear programming model for the b-edge coloring problem, which we use for computing exact results for the direct product of some special graph classes. Finally, we propose a general procedure for generating cuts for the maximum stable set problem. The algorithm generates both rank and non-rank valid inequalities, and employs a lifting method based on the resolution of a maximum weighted stable set problem on a smaller graph.Fil:Koch, Ivo Valerio. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina

On the (k,i)-coloring of cacti and complete graphs

In the (k,i)-coloring problem, we aim to assign sets of colors of size k to the vertices of a graph G, so that the sets which belong to adjacent vertices of G intersect in no more than i elements and the total number of colors used is minimum. This minimum number of colors is called the (k,i)-chromatic number. We present in this work a very simple linear time algorithm to compute an optimum (k,i)- coloring of cycles and we generalize the result in order to derive a polynomial time algorithm for this problem on cacti. We also perform a slight modification to the algorithm in order to obtain a simpler algorithm for the close coloring problem addressed in [R.C. Brigham and R.D. Dutton, Generalized k-tuple colorings of cycles and other graphs, J. Combin. Theory B 32:90–94, 1982]. Finally, we present a relation between the (k,i)-coloring problem on complete graphs and weighted binary codes.Fil: Bonomo, Flavia. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Departamento de Computación; Argentina. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas; ArgentinaFil: Durán, Guillermo Enrique. Universidad de Chile; Chile. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Instituto de Cálculo; Argentina. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Departamento de Matemática; ArgentinaFil: Koch, Ivo Valerio. Universidad Nacional de General Sarmiento; ArgentinaFil: Valencia Pabon, Mario. Universite de Paris 13-Nord. Laboratoire d'informatique de L'Université Paris-Nord; Franci

ILC Reference Design Report Volume 1 - Executive Summary

The International Linear Collider (ILC) is a 200-500 GeV center-of-mass high-luminosity linear electron-positron collider, based on 1.3 GHz superconducting radio-frequency (SCRF) accelerating cavities. The ILC has a total footprint of about 31 km and is designed for a peak luminosity of 2x10^34 cm^-2s^-1. This report is the Executive Summary (Volume I) of the four volume Reference Design Report. It gives an overview of the physics at the ILC, the accelerator design and value estimate, the detector concepts, and the next steps towards project realization.The International Linear Collider (ILC) is a 200-500 GeV center-of-mass high-luminosity linear electron-positron collider, based on 1.3 GHz superconducting radio-frequency (SCRF) accelerating cavities. The ILC has a total footprint of about 31 km and is designed for a peak luminosity of 2x10^34 cm^-2s^-1. This report is the Executive Summary (Volume I) of the four volume Reference Design Report. It gives an overview of the physics at the ILC, the accelerator design and value estimate, the detector concepts, and the next steps towards project realization

ILC Reference Design Report Volume 4 - Detectors

This report, Volume IV of the International Linear Collider Reference Design Report, describes the detectors which will record and measure the charged and neutral particles produced in the ILC's high energy e+e- collisions. The physics of the ILC, and the environment of the machine-detector interface, pose new challenges for detector design. Several conceptual designs for the detector promise the needed performance, and ongoing detector R&D is addressing the outstanding technological issues. Two such detectors, operating in push-pull mode, perfectly instrument the ILC interaction region, and access the full potential of ILC physics.This report, Volume IV of the International Linear Collider Reference Design Report, describes the detectors which will record and measure the charged and neutral particles produced in the ILC's high energy e+e- collisions. The physics of the ILC, and the environment of the machine-detector interface, pose new challenges for detector design. Several conceptual designs for the detector promise the needed performance, and ongoing detector R&D is addressing the outstanding technological issues. Two such detectors, operating in push-pull mode, perfectly instrument the ILC interaction region, and access the full potential of ILC physics

ILC Reference Design Report Volume 3 - Accelerator

The International Linear Collider (ILC) is a 200-500 GeV center-of-mass high-luminosity linear electron-positron collider, based on 1.3 GHz superconducting radio-frequency (SCRF) accelerating cavities. The ILC has a total footprint of about 31 km and is designed for a peak luminosity of 2x10^34 cm^-2 s^-1. The complex includes a polarized electron source, an undulator-based positron source, two 6.7 km circumference damping rings, two-stage bunch compressors, two 11 km long main linacs and a 4.5 km long beam delivery system. This report is Volume III (Accelerator) of the four volume Reference Design Report, which describes the design and cost of the ILC.The International Linear Collider (ILC) is a 200-500 GeV center-of-mass high-luminosity linear electron-positron collider, based on 1.3 GHz superconducting radio-frequency (SCRF) accelerating cavities. The ILC has a total footprint of about 31 km and is designed for a peak luminosity of 2x10^34 cm^-2 s^-1. The complex includes a polarized electron source, an undulator-based positron source, two 6.7 km circumference damping rings, two-stage bunch compressors, two 11 km long main linacs and a 4.5 km long beam delivery system. This report is Volume III (Accelerator) of the four volume Reference Design Report, which describes the design and cost of the ILC